Introduktion

Vad är signalbehandling? Ibland kan det kännas som att tyda osynliga hieroglyfer! Signalbehandling handlar om att bearbeta, analysera och tolka signaler i elektriska eller elektroniska system. En signal kan vara vilken meningsbärande information som helst, exempelvis ljud, bilder eller andra data. Signalbehandling använder matematiska algoritmer och tekniker för att analysera och ändra signaler, såsom filtrering, komprimering, förbättring och igenkänning.

Signalbehandling spelar en avgörande roll i modern teknik som telekommunikation, ljud- och videobehandling, biomedicinsk teknik, reglersystem och datorteknik. Här representerar och förmedlar signaler information, och signalbehandling kan ta fram och isolera den användbara informationen och förbättra signalkvaliteten.
Ett exempel är att ta bort bakgrundsbrus från en röstinspelning eller jämna ut en bild med oönskat brus. Det kan också vara att avkoda en otydlig insignal till en tydlig signal som i figur 1.

Figur 1: Till synes slumpmässiga bokstäver visar sig innehålla ett dolt meddelande efter lite signalbehandling (röda bokstäver).
*Illustrationen visar bara principen

Figur 1 visar bara principen: Små bokstäver tas bort från insignalen för att avslöja meddelandet. Det kan jämföras med att ta bort vissa oönskade frekvenser från en signal. Så fungerar exempelvis radioapparater. En radio tar emot radiovågor som är elektromagnetiska vågor utsända av en antenn. Olika frekvenser bär information för olika radiokanaler. Genom att ställa in mottagaren på en viss frekvens väljer du en signal och därmed en kanal. Det liknar att tyda osynliga hieroglyfer, och så kan signalbehandling vara! Målet är att ta fram meningsfull information ur signaler och omvandla den till något användbart för den aktuella tillämpningen. 

Här går vi igenom några grundläggande matematiska algoritmer och tekniker för signalbehandling. Men innan vi presenterar dem börjar vi med en enklare förklaring.

Inom elektronik arbetar vi ofta med signaler i tid och frekvens.
Signaler kan därför ses i både tids- och frekvensdomänen. I tidsdomänen beskriver vi signalens värde vid varje tidpunkt. I frekvensdomänen beskriver vi amplituder och faser för signalens frekvenskomponenter. En viss spänning innebär inte en viss frekvens.

De matematiska verktygen vi presenterar heter Fouriertransformen, Laplacetransformen och Z-transformen. Alla används för signalbehandling och analys. De har både likheter och tydliga skillnader. Nedan visas en översikt.

Vissa ord nedan är länkar till delen där de förklaras närmare

1. Domän

   Fouriertransformen arbetar med tidskontinuerliga signaler i tidsdomänen.
   
   Denna Laplacetransform arbetar i sin vanliga form med tidskontinuerliga signaler.
   
   Z-transformen arbetar endast med tidsdiskreta signaler i tidsdomänen.
   
   

2. Komplexitet och matematik

   Fouriertransformen använder komplexa exponentialfunktioner.
   
   Laplacetransformen använder en integral med en komplex exponentialkärna; komplexa logaritmer ingår inte i dess definierande kärna.
   
   Z-transformen använder komplexa exponentialfunktioner och komplexa polynom.
   
   

3. Stabilitetsanalys

   Stabilitetsanalys är den del av system- och reglerteori som undersöker och förutsäger ett systems stabilitet eller instabilitet.
   
   Laplacetransformen används ofta för stabilitetsanalys av linjära tidsinvarianta system (LTI).
   Z-transformen används för stabilitetsanalys av digitala filter, exempelvis ett filter som tar bort bakgrundsbrus från en röstinspelning.
   
   Fouriertransformen ger ingen direkt metod för stabilitetsanalys.
   
   

4. Representation i frekvensdomänen

   Fouriertransformen avbildar en signal från tidsdomänen till den kontinuerliga frekvensdomänen.
   
   Laplacetransformen avbildar en signal från tidsdomänen till den komplexa frekvensdomänen.
   
   Z-transformen avbildar en signal från tidsdomänen till den komplexa frekvensdomänen och används för tidsdiskreta signaler.
   
   

Varje transform har alltså särskilda egenskaper och användningar, och valet beror på kraven i det aktuella signalbehandlingsproblemet.

Vad är tidskontinuerliga och tidsdiskreta signaler?
Skillnaden mellan dessa signaltyper gäller tidsaxeln i figur 2 nedan. Om signalen är definierad för alla tidsvärden, t, kallas den tidskontinuerlig som i figur 2a och 2b.
En tidsdiskret signal är däremot inte definierad för alla värden av t som i figur 2c och 2d.

Figur 1: Grafer med tidskontinuerliga och tidsdiskreta signaler, där
t = tid
x(t) är en funktion av tiden

a) Tidskontinuerlig signal som en sinusvåg, eftersom t är definierad för alla tidpunkter
b) En digital tidskontinuerlig signal, eftersom t är definierad för alla tidpunkter.
c) Här visas en sinusvåg som en tidsdiskret signal, eftersom t inte är definierad för alla tidpunkter
d) Här är sekvenserna eller pulserna inte definierade för alla värden av t, så d är en tidsdiskret signal. 

Vad är ett linjärt tidsinvariant system (LTI)?
Ett system är linjärt när det uppfyller superposition: T[a x1 + b x2] = a T[x1] + b T[x2]. Det omfattar additivitet och skalning, inte bara händelser som utförs i följd.
Ett system är tidsinvariant om en fördröjning av insignalen ger samma fördröjning av utsignalen utan att i övrigt ändra responsen. Alla system är inte linjära eller tidsinvarianta.

Hur gäller dessa egenskaper för verkliga signaler? Med samma princip som för tal kan vi skicka den röda och den blå vågen var för sig genom ett LTI-system. Vi får då motsvarande utsignaler, visade som lila och turkosa kurvor i figur 3.

Figur 3: Rött och blått skickas in i ett LTI-system, och lila och turkost är
motsvarande utsignaler.

Om vi sedan skickar in summan av de två tidigare insignalerna får vi summan av de två tidigare utsignalerna, se figur 4. 

Figur 4: Här är rött och blått en gemensam insignal, medan lila och turkost är motsvarande utsignal.

Sambandet mellan figur 3 och 4 kallas superpositionsprincipen eller superpositionsegenskapen. För alla linjära system är den sammanlagda responsen från två eller flera påverkan summan av responserna från varje påverkan för sig.

Detta gäller inte för olinjära system, som i allmänhet inte uppfyller superpositionsrelationen ovan. Det låter komplicerat, så det lämnar vi tills vidare.  


Vad är komplex frekvens?
Komplex frekvens är ingen mystisk extra dimension. I Laplacetransformen kombinerar s = σ + jω exponentiell tillväxt eller dämpning (σ) och vinkelfrekvens (ω). Det skiljer sig från att beskriva en sinusfunktion med fasinformation. Fas – vad är det? En signal kan inte bestämmas entydigt enbart utifrån amplitud och frekvens; fasen måste också anges. Till detta använder vi en särskild taltyp som kallas komplexa tal. Vad är de då? De kan ses som ett verktyg för giltiga genvägar i arbetet med elektriska system. Komplexa tal skrivs ofta a+ib, där a och b är reella tal och i är den imaginära enheten, även kallad iota. Namnet ”imaginär” kan verka förvirrande, men häng med! Om du är matematikintresserad kanske det överraskar att i = √−1. Ja, det står ett negativt tal under rottecknet!
För z = 2+3i är realdelen Re(z) = 2 och imaginärdelen Im(z) = 3. Den imaginära termen är 3i; i är den imaginära enheten med i² = −1.

Fouriertransform

Fouriertransformen delar upp signaler i deras frekvenskomponenter. Den representerar signaler som en summa av enkla sinusfunktioner, se figur 2a, vilket gör dem lättare att analysera, ändra och tolka.

Fouriertransformen avbildar en signal från tidsdomänen, där den är en funktion av tid, till frekvensdomänen, där den är en funktion av frekvens.          
Det kan exempelvis användas för att isolera önskade frekvenser ur insignalen genom att filtrera bort frekvenser utanför en viss gräns från utsignalen.  

Fouriermetoder omfattar den tidskontinuerliga Fouriertransformen, den tidsdiskreta Fouriertransformen (DTFT) och den diskreta Fouriertransformen (DFT).

DFT representerar en ändlig sekvens av sampel med ett ändligt antal frekvenspunkter; DTFT beskriver en tidsdiskret sekvens med en kontinuerlig, periodisk frekvensvariabel.
CFT används för tidskontinuerliga signaler.

Laplacetransform

Laplacetransformens huvudsyfte är att förenkla matematiken för signalers in- och utgångar. Den omvandlar en signal från tidsdomänen till den komplexa frekvensdomänen, där den lättare kan analyseras och bearbetas, i stället för att lösa den i tidsdomänen där beräkningen kan vara mer komplicerad.

Z-transform

Z-transformen är ett matematiskt verktyg för analys och representation av tidsdiskreta signaler inom digital signalbehandling. Liksom Laplacetransformen kan den förenkla matematiken. Den omvandlar en tidsdiskret signal från tidsdomänen till den komplexa frekvensdomänen, där den lättare kan analyseras och bearbetas.

Z-transformen avbildar en tidsdiskret signal till en komplexvärd funktion i frekvensdomänen, signalens Z-transform. Det gör det möjligt att analysera och konstruera digitala filter och utföra andra operationer på tidsdiskreta signaler, såsom filtrering, komprimering och igenkänning.

En viktig fördel med Z-transformen är möjligheten att analysera och konstruera digitala filter för många tillämpningar, inklusive telekommunikation, ljud- och videobehandling och reglersystem.

Utöver digital signalbehandling används Z-transformen för analys av linjära tidsinvarianta system, där den ger en praktisk representation av systemets överföringsfunktion i frekvensdomänen.

Fouriertransformen, Laplacetransformen och Z-transformen är alltså kraftfulla och vanliga matematiska verktyg som ger värdefull insikt i många systems beteende och egenskaper.