Introduktion
Så vad är signalbehandling? Det kan ibland vara som att tolka osynliga hieroglyfer! En signal kan vara vilken typ av information som helst som förmedlar mening, som ljud, bilder eller annan data – ja, till och med röksignaler. Signalbehandling i detta omfång avser manipulering, analys och tolkning av signaler i elektriska eller elektroniska system. Signalbehandling inom elektroteknik involverar matematiska algoritmer och tekniker som används för att analysera och modifiera signaler, såsom filtrering, komprimering, förbättring och igenkänning.
Därför har signalbehandling en grundläggande roll i många moderna teknologier och tillämpningar, bland annat inom telekommunikation, ljud- och videobehandling, biomedicinsk teknik, styrsystem och datateknik. I dessa fält används signaler för att representera och kommunicera information, och signalbehandling används för att extrahera och isolera denna användbara information och/eller förbättra kvaliteten på signalen.
Ett exempel på detta kan vara att ta bort bakgrundsbrus för en röstinspelning eller att jämna ut en bild med mycket oönskat "brus". Det kan också vara att avkoda en något otydlig insignal till en klarsignal, som illustreras i följande figur 1. 
Figur 1 : Det som verkar vara slumpmässiga bokstäver visar sig vara ett dolt meddelande efter viss signalbehandling (röda bokstäver).
*Observera att denna illustration endast är till för att demonstrera konceptet
Figur 1 tjänar bara som en illustration av konceptet där de små bokstäverna skärs av från insignalen för att avslöja det dolda meddelandet. Detta koncept skulle praktiskt taget kunna utspela sig som att man skär av vissa oönskade frekvenser från en insignal. Detta är t.ex. hur radioapparater tar upp olika frekvenser och därmed olika kanaler. En radio fångar upp radiovågor, som är en elektromagnetisk våg som sprids av en antenn. Dessa radiovågor har olika frekvenser, var och en bär informationen för olika radiokanaler. Genom att ställa in en radiomottagare på en specifik frekvens kan du fånga upp en specifik signal och därmed en specifik radiokanal. Det är lite som att avkoda osynliga hieroglyfer, och det är vad signalbehandling är ibland!
Sammanfattningsvis är målet med signalbehandling att extrahera konkret information från signaler och omvandla denna information till en form som är nödvändig för den aktuella applikationen.
I den här bloggen kommer vi att gå igenom några av dessa grundläggande transformationer - matematiska algoritmer och tekniker - för signalbehandling. Men innan du introduceras till dessa transformationstekniker, låt oss koka ner det lite till vårt yrke.
När vi arbetar med signaler för elektronik arbetar vi ofta med tid och frekvenser.
Så signalerna kan ses i både tids- och frekvensdomäner. Om vi representerar transformationerna i tidsdomänen får vi spänningsnivåer vid olika tidpunkter. Om vi representerar transformationerna i frekvensdomänen får vi spänningsnivåer av olika frekvenser. Därför kan det uppstå situationer där vi vill ha en viss spänning och därför en viss frekvens och vice versa.
De matematiska algoritmerna och teknikerna som presenteras i den här bloggen är: Fourier-transformen , Laplace-transformen och Z-transformen . Även om de delar vissa likheter har de också vissa skillnader. Nedan följer en översikt över likheterna och skillnaderna för dessa transformationer.
Några ord som används nedan är hyperlänkar som tar dig till avsnittet av den här bloggen där de utvecklas.
Domän
Fouriertransformen arbetar på kontinuerliga tidssignaler i tidsdomänen.
Laplace-transformen fungerar på både kontinuerliga tidssignaler och tidsdiskreta signaler .
Z-transformen fungerar uteslutande på diskreta tidssignaler i tidsdomänen.
Komplexitet och matematik
Fouriertransformen involverar komplex exponentialfunktion.
Laplace-transformen involverar komplexa exponentialfunktioner och komplexa logaritmiska funktioner.
Z-transformen involverar komplexa exponentialfunktioner och komplexa polynom.
Stabilitetsanalys
Stabilitetsanalys är den del av system- och kontrollteori som används för att studera och förutsäga ett systems stabilitets- eller instabilitetsegenskaper.
Laplace-transformen används ofta för stabilitetsanalys av linjära tidsinvarianta system (LTI) .
Z-transformen används för stabilitetsanalys av digitala filter (t.ex. ett digitalt filter kan vara en del av bakgrundsbrusborttagningen för en röstinspelning).
Fouriertransformen tillhandahåller ingen direkt metod för stabilitetsanalys.
Frekvensdomänrepresentation
Fouriertransformen mappar en signal från tidsdomänen till den kontinuerliga frekvensdomänen
Laplace-transformen kartlägger en signal från tidsdomänen till komplex frekvensdomän
Z-transformen mappar en signal från tidsdomänen till den komplexa frekvensdomänen och används för diskreta tidssignaler.
För att sammanfatta, var och en av dessa transformationer har sina egna unika funktioner och applikationer, och beslutet om vilken transformation som ska användas beror på de specifika kraven för signalbehandlingsproblemet som åtgärdas.
Vad är kontinuerlig-tids- och diskret-tidssignaler?
Så skillnaden mellan dessa två typer av signaler är relaterad till tidsaxeln t på grafen som visas nedan i figur 2. Om signalen är definierad för alla värden av tid, t , sägs signalen vara en kontinuerlig tidssignal som vi ser i figurerna 2a och 2b.
Om signalen är en diskret tidssignal kommer detta att innebära att signalen inte är definierad för alla värden på t , som vi ser i figurerna 2c och 2d. 
Figur 2 : Är en illustration av grafer som visar kontinuerliga och diskreta tidssignaler, där,
t = tid
x(t) någon funktion av tiden
(a) Kontinuerlig tidssignal i form av en sinusvåg, eftersom t definieras för alla tidsvärden
(b) En digital kontinuerlig tidssignal, eftersom t definieras för alla tidsvärden.
(c) Här ser vi en sinusvåg i form av en diskret tidssignal eftersom t inte är definierat för alla tidsvärden.
(d) Här ser vi att sekvenserna, eller pulserna, inte är definierade för alla värden på t , och därför är (d) en diskret tidssignal.
Så vad är ett linjärt tidsinvariant system (LTI)?
I allmänhet betyder linjär en serie händelser eller tankar, den ena direkt efter den andra. Så t.ex. då tar vi summan av två tal på ett linjärt sätt - om vi lägger till 2 till 3 börjar vi på 2 och räknar 3. Detta är linjäritet.
Om vi lägger till 2 till 3 är svaret fortfarande detsamma oavsett vilken tid vi råkar vara i. Det konceptet är ''tidsinvarianten'' i LTI-system. Jag vet att detta kan låta väldigt enkelt MEN inte alla system är linjära eller tidsinvarianta.
Så vi gick bara igenom ett exempel med siffrorna 2 och 4. Men vad händer om vi inte har några siffror utan andra typer av signaler? Om vi föreställer oss samma koncept av signaler som vi gjorde med siffrorna, kan vi skapa en situation där vi matar in denna röda våg och denna blå våg separat i ett LTI-system. Vi får då motsvarande två utgångar som består av de lila och turkosa linjerna, se figur 2. 
Figur 3 : Rött och blått är ingångar till ett LTI-system och lila och turkos är deras motsvarande utgångar.
Så om vi matar in summan av de två föregående ingångarna får vi summan av de två föregående utgångarna, se figur 4. 
Figur 4 : Här är de röda och blåa en enda ingång och de lila och turkosa är dess motsvarande utdata.
Denna likhet vi ser för figurerna 3 och 4 är känd som superpositionsprincipen, även känd som superpositionsegenskapen. I huvudsak, för alla linjära system, är nettosvaret som orsakas av två eller flera stimuli summan av de svar som skulle ha orsakats av varje stimulus individuellt.
Detta gäller inte för icke-linjära system eftersom ett icke-linjärt system definieras som ett system där förändringen i output inte är proportionell mot förändringen i input. Låter riktigt rörigt va. Sååå, låt oss lägga icke-linjära system åt sidan. Tills vidare. Ett bra steg i taget är ibland den snabbaste metoden.
Vad är en komplex frekvens?
Betyder komplex frekvens att det finns en frekvens någonstans i den femte dimensionen som vi måste upptäcka med fantasins kraft? Nej, tyvärr - det vore för coolt. Komplex frekvens betyder helt enkelt frekvens med fasinformation. Fas? Vad är det? För att förstå det måste man komma ihåg att man inte kan definiera en signal på ett unikt sätt bara genom dess amplitud och frekvens som den har. Men du måste också specificera fasen för den signalen. Oroa dig inte för mycket om det nu. En annan typ av nummer som kallas "komplexa tal" används för det. Okej, nu vet vi var vi får termen komplex frekvens ifrån. Men vad är meningen med dessa komplexa tal? Jo, inom detta ämne kan man tänka på komplexa tal som ett verktyg för att ta giltiga genvägar när man arbetar med elsystem och elektronik.
Komplexa tal uttrycks ofta i termer av a+ib, där a, b är reella tal och 'i' är ett imaginärt tal som heter "iota". Det kallas bara inbillat att förvirra en ännu mer, men håll ut! Så komplexa tal består av en reell och en imaginär del. Eller, för att vara mer exakt, komplexa tal består av ett reellt tal och ett annat reellt tal multiplicerat med den imaginära enhetens storlek jota, dvs. Om du är lite av en matematiker kanske det förvånar dig när jag berättar att värdet av i = (√-1). Ja, det är ett negativt tal under en kvadratrot. Hantera det!
För att sammanfatta; vi har det komplexa talet 2 + 3i. 2 är här den verkliga delen - detta indikeras med (Re). 3i är den imaginära delen och denna betecknas med (Im).
Fouriertransform
Fouriertransformen bryter ner signaler till deras ingående frekvenser. Det ger ett sätt att representera signaler som en summa av enkla sinusformade funktioner (se figur 2a), vilket gör det lättare att analysera, manipulera och tolka signalerna.
Fouriertransformen mappar en signal från tidsdomänen, där signalen representeras som en funktion av tiden, till frekvensdomänen, där signalen representeras som en funktion av frekvensen.
Detta koncept kan t.ex. vara ett verktyg för att isolera specifika önskade frekvenser från ingången, genom att filtrera bort frekvenser som faller utanför en viss gräns.
Det finns två typer av Fourier-transformer:
den diskreta Fouriertransformen (DFT) och den kontinuerliga Fouriertransformen (CFT).
DFT används för att behandla tidsdiskreta signaler.
CFT används för att behandla kontinuerliga tidssignaler.
Laplace Transform
Huvudsyftet med laplacetransformen är att förenkla matematiken för in- och utmatning av signaler. Laplace Transform transformerar en signal från tidsdomänen till den komplexa frekvensdomänen där den lättare kan analyseras och manipuleras istället för att lösa dem i tidsdomänen där lösningen kan vara mer komplex att uppnå.
Z-transformation
Z-transformen är ett matematiskt verktyg som används vid digital signalbehandling för analys och representation av tidsdiskreta signaler. Precis som Laplace-transformen kan Z-transformen också förenkla den underliggande matematiken. Den omvandlar en tidsdiskret signal från tidsdomänen till den komplexa frekvensdomänen, där den lättare kan analyseras och manipuleras.
Z-transformen mappar en diskret-tidssignal till en komplext värderad funktion i frekvensdomänen, känd som Z-transformen av signalen. Denna transformation gör det möjligt att analysera och designa digitala filter och att utföra andra operationer på diskreta tidssignaler, såsom filtrering, komprimering och igenkänning.
En av de främsta fördelarna med Z-transformen är att den ger ett sätt att analysera och designa digitala filter, som används för att bearbeta signaler i en mängd olika applikationer, inklusive telekommunikation, ljud- och videobehandling och kontrollsystem. Utöver dess tillämpningar inom digital signalbehandling, används Z-transformen även vid analys av linjära tidsinvarianta system, där den ger ett bekvämt sätt att representera systemöverföringsfunktionen i frekvensdomänen.
Sammantaget är Fourier-transformen, Laplace-transformen och Z-transformen kraftfulla och ofta använda matematiska verktyg som ger värdefull insikt om beteendet och egenskaperna hos många system.
