Introduktion

Så vad är signalbehandling? Det kan ibland vara som att tolka osynliga hieroglyfer! En signal kan vara vilken typ av information som helst som förmedlar mening, som ljud, bilder eller annan data – ja, till och med röksignaler. Signalbehandling i detta omfång avser manipulering, analys och tolkning av signaler i elektriska eller elektroniska system. Signalbehandling inom elektroteknik involverar matematiska algoritmer och tekniker som används för att analysera och modifiera signaler, såsom filtrering, komprimering, förbättring och igenkänning.
Därför har signalbehandling en grundläggande roll i många moderna teknologier och tillämpningar, bland annat inom telekommunikation, ljud- och videobehandling, biomedicinsk teknik, styrsystem och datateknik. I dessa fält används signaler för att representera och kommunicera information, och signalbehandling används för att extrahera och isolera denna användbara information och/eller förbättra kvaliteten på signalen.

Ett exempel på detta kan vara att ta bort bakgrundsbrus för en röstinspelning eller att jämna ut en bild med mycket oönskat "brus". Det kan också vara att avkoda en något otydlig insignal till en klarsignal, som illustreras i följande figur 1.


Figur 1 : Det som verkar vara slumpmässiga bokstäver visar sig vara ett dolt meddelande efter viss signalbehandling (röda bokstäver).
*Observera att denna illustration endast är till för att demonstrera konceptet

Figur 1 tjänar bara som en illustration av konceptet där de små bokstäverna skärs av från insignalen för att avslöja det dolda meddelandet. Detta koncept skulle praktiskt taget kunna utspela sig som att man skär av vissa oönskade frekvenser från en insignal. Detta är t.ex. hur radioapparater tar upp olika frekvenser och därmed olika kanaler. En radio fångar upp radiovågor, som är en elektromagnetisk våg som sprids av en antenn. Dessa radiovågor har olika frekvenser, var och en bär informationen för olika radiokanaler. Genom att ställa in en radiomottagare på en specifik frekvens kan du fånga upp en specifik signal och därmed en specifik radiokanal. Det är lite som att avkoda osynliga hieroglyfer, och det är vad signalbehandling är ibland!

Sammanfattningsvis är målet med signalbehandling att extrahera konkret information från signaler och omvandla denna information till en form som är nödvändig för den aktuella applikationen.

I den här bloggen kommer vi att gå igenom några av dessa grundläggande transformationer - matematiska algoritmer och tekniker - för signalbehandling. Men innan du introduceras till dessa transformationstekniker, låt oss koka ner det lite till vårt yrke.

När vi arbetar med signaler för elektronik arbetar vi ofta med tid och frekvenser.
En tidsdomänrepresentation visar signalvärden, exempelvis spänning, över tiden. En frekvensdomänrepresentation beskriver frekvenskomponenternas amplituder och faser. Amplitud och frekvens är olika egenskaper: en viss spänning bestämmer inte en viss frekvens.

De matematiska algoritmerna och teknikerna som presenteras i den här bloggen är: Fourier-transformen , Laplace-transformen och Z-transformen . Även om de delar vissa likheter har de också vissa skillnader. Nedan följer en översikt över likheterna och skillnaderna för dessa transformationer.

Några ord som används nedan är hyperlänkar som tar dig till avsnittet av den här bloggen där de utvecklas.

Domän

Fouriertransformen har både tidskontinuerliga och tidsdiskreta former; DFT beskriver ändliga samplade sekvenser.
Laplace-transformen används normalt för tidskontinuerliga signaler; Z-transformen är motsvarande verktyg för tidsdiskreta signaler .
Z-transformen arbetar med tidsdiskreta sekvenser.

Komplexitet och matematik

Fouriertransformen involverar komplex exponentialfunktion.
Laplace-transformen använder en integral med en komplex exponentialkärna och ett konvergensområde. Komplexa logaritmer är inget definierande krav.
Z-transformen använder en summa av sekvensvärden viktade med potenser av z och har ett konvergensområde.

Stabilitetsanalys

Stabilitetsanalys är den del av system- och kontrollteori som används för att studera och förutsäga ett systems stabilitets- eller instabilitetsegenskaper.

Laplace-transformen används ofta för stabilitetsanalys av linjära tidsinvarianta system (LTI) .
Z-transformen används för stabilitetsanalys av digitala filter (t.ex. ett digitalt filter kan vara en del av bakgrundsbrusborttagningen för en röstinspelning).
Fouriertransformen beskriver frekvensrespons där den existerar; stabilitetsanalys kräver vanligen också information om impulssvar eller poler och konvergensområde.

Frekvensdomänrepresentation

Fouriertransformen avbildar en tidssignal till en frekvensrepresentation; tidskontinuerlig och tidsdiskret Fouriertransform har en kontinuerlig frekvensvariabel, medan DFT använder diskreta frekvenspunkter.
Laplace-transformen avbildar en tidssignal till den komplexa frekvensens s-domän.
Z-transformen avbildar en tidsdiskret sekvens till det komplexa z-planet. På enhetscirkeln, där konvergensen tillåter det, ger den den tidsdiskreta frekvensresponsen.

För att sammanfatta, var och en av dessa transformationer har sina egna unika funktioner och applikationer, och beslutet om vilken transformation som ska användas beror på de specifika kraven för signalbehandlingsproblemet som åtgärdas.

Vad är kontinuerlig-tids- och diskret-tidssignaler?
Så skillnaden mellan dessa två typer av signaler är relaterad till tidsaxeln t på grafen som visas nedan i figur 2. Om signalen är definierad för alla värden av tid, t , sägs signalen vara en kontinuerlig tidssignal som vi ser i figurerna 2a och 2b.
Om signalen är en diskret tidssignal kommer detta att innebära att signalen inte är definierad för alla värden på t , som vi ser i figurerna 2c och 2d.


Figur 2 : Är en illustration av grafer som visar kontinuerliga och diskreta tidssignaler, där,
t = tid
x(t) någon funktion av tiden
(a) Kontinuerlig tidssignal i form av en sinusvåg, eftersom t definieras för alla tidsvärden
(b) En tvånivåsignal i kontinuerlig tid: värdet är definierat vid varje tidpunkt, även om amplituden har diskreta nivåer.
(c) En samplad sinusvåg som bara är definierad vid diskreta samplingstidpunkter.
(d) Här ser vi att sekvenserna, eller pulserna, inte är definierade för alla värden på t , och därför är (d) en diskret tidssignal.

Så vad är ett linjärt tidsinvariant system (LTI)?
Linjäritet betyder superposition: om ingångarna x1 och x2 ger utgångarna y1 och y2, ger ingången a·x1+b·x2 utgången a·y1+b·y2 för godtyckliga konstanter a och b. Det omfattar både addition och skalning.
Tidsinvarians betyder att en fördröjning av ingången med t0 fördröjer motsvarande utgång lika mycket utan att svaret annars ändras. Alla system är inte linjära eller tidsinvarianta.

Låt oss illustrera superposition med signaler. Vi matar in den röda och blå vågen separat i ett LTI-system och får motsvarande lila och turkosa utgångar, se figur 3.


Figur 3 : Rött och blått är ingångar till ett LTI-system och lila och turkos är deras motsvarande utgångar.

Så om vi matar in summan av de två föregående ingångarna får vi summan av de två föregående utgångarna, se figur 4.


Figur 4 : Här är de röda och blåa en enda ingång och de lila och turkosa är dess motsvarande utdata.

Sambandet mellan figur 3 och 4 kallas superpositionsprincipen. I ett linjärt system är svaret på en summa av stimuli lika med summan av de enskilda svaren; skalning av stimuli skalar också svaren.
Ett icke-linjärt system uppfyller inte superposition för alla giltiga ingångar och skalningar. Beteendet kan därför i allmänhet inte återskapas genom att bara summera enskilda svar. Sååå, låt oss lägga icke-linjära system åt sidan. Tills vidare. Ett bra steg i taget är ibland den snabbaste metoden.

Vad är en komplex frekvens?
Betyder komplex frekvens en frekvens gömd i den femte dimensionen som hittas med fantasi? Tyvärr inte! För Laplace-transformen är komplex frekvens s = σ + jω. Realdelen σ beskriver exponentiell tillväxt eller avklingning och imaginärdelen ω vinkelfrekvensen för svängningen. Det betyder inte bara ”frekvens med fasinformation”.Fas? Vad är det?Även en enda sinusformad signal behöver fas, förutom amplitud och frekvens, för att ange tidsläget relativt en referens. Komplexa tal representerar smidigt sinusformad amplitud och fas. Denna fasorrepresentation är besläktad med men skild från den komplexa frekvensvariabeln s. Komplex aritmetik förenklar beräkningar i elektriska system.
Komplexa tal skrivs ofta a+ib, där a och b är reella och i är den imaginära enheten. De består av en realdel och en imaginärdel – eller mer exakt ett reellt tal plus ett annat reellt tal multiplicerat med den imaginära enheten i, där i² = -1. Elektroteknik använder ofta j i stället för i för att undvika sammanblandning med ström.
För 2 + 3i är realdelen Re lika med 2 och imaginärdelen Im lika med 3. Den imaginära termen är 3i.

Fouriertransform

Fouriertransformen delar upp signaler i frekvenskomponenter, representerade genom sinusfunktioner eller komplexa exponentialfunktioner. Det förenklar analys, bearbetning och tolkning.

Fouriertransformen mappar en signal från tidsdomänen, där signalen representeras som en funktion av tiden, till frekvensdomänen, där signalen representeras som en funktion av frekvensen.

Detta koncept kan t.ex. vara ett verktyg för att isolera specifika önskade frekvenser från ingången, genom att filtrera bort frekvenser som faller utanför en viss gräns.
Viktiga Fourierrepresentationer är
tidskontinuerlig Fouriertransform (CTFT), tidsdiskret Fouriertransform (DTFT) och diskret Fouriertransform (DFT).
DTFT representerar en tidsdiskret sekvens med en kontinuerlig, periodisk frekvensvariabel. DFT representerar en ändlig sekvens med ett ändligt antal frekvenspunkter.
CTFT gäller tidskontinuerliga signaler under lämpliga existensvillkor.

Laplace-transform

Laplace-transformen förenklar matematiken för signalers in- och utgångar. Den transformerar en tidskontinuerlig signal till den komplexa s-domänen, där analys kan vara enklare än direkt i tid. Konvergensområdet är en del av transformbeskrivningen.

Z-transformation

Z-transformen är ett matematiskt verktyg för analys och representation av tidsdiskreta signaler. Precis som Laplace-transformen kan den förenkla matematiken. Den avbildar en sekvens från diskret tid till en funktion av den komplexa variabeln z.

Z-transformen och dess konvergensområde används för analys och konstruktion av digitala filter och andra tidsdiskreta system. Utvärdering på enhetscirkeln, när den är giltig, kopplar den till frekvensanalys.
En viktig fördel är möjligheten att analysera och konstruera digitala filter inom telekommunikation, ljud- och videobehandling och styrsystem. Den representerar också överföringsfunktioner för tidsdiskreta LTI-system och förenklar studier av deras beteende.

Sammantaget är Fourier-transformen, Laplace-transformen och Z-transformen kraftfulla och ofta använda matematiska verktyg som ger värdefull insikt om beteendet och egenskaperna hos många system.